science-review.ru
Совершенствование математических моделей, расширение возможностей математического моделирования позволяет принимать обоснованные решения на этапе проектирования. К наиболее сложной проблеме проектирования относится проблема обеспечения надежности конструкций при механических воздействиях. Для обеспечения возможности исследования динамики узлов на печатных платах на основе моделирования необходимо решение следующих задач:
– построение математической модели, позволяющей получить адекватное решение;
– разработка способа описания конструкции и задания внешних воздействий для обеспечения возможности исследования реакции конструкции на заданные воздействия по результатам моделирования, их использование для обоснования проектных решений;
– интерпретация и обработка результатов решений, представленных результатами исследования колебаний. Процесс характеризуется значениями функций координат и времени: прогиба, ускорения, механических напряжений и других.
Предлагается дискретно-непрерывная математическая модель, позволяющая исследовать колебания узла на печатной плате в широком частотном диапазоне.
Печатный узел рассматривается как изотропная пластина постоянной толщины с неоднородным распределением плотности материала, что позволяет учесть массу установленных элементов, существенно влияющих на резонансные частоты, амплитуду колебаний и механические напряжения в элементах конструкции.
Прогиб W срединной поверхности пластины при статической распределенной нагрузке q дает решение уравнения [1]:
, (1)
где 
– цилиндрическая жесткость пластины; E – модуль Юнга; δ – толщина пластины; ν – коэффициент Пуассона.
Функция перемещения креплений пластины 
задана. Тогда выражение для инерционных сил
. (2)
Плотность материала есть функция координат 
, что позволяет учесть массу навесных элементов. С учетом потерь энергии на внутреннее трение уравнение (1) принимает вид:
. (3)
Здесь 
– дифференциальный оператор; b – коэффициент вязкости материала платы.
На основе выражения (3) рассмотрим построение модели печатного узла [2, 3]. С учетом прогиба 
относительно закрепленных областей платы получим:
(4)
Для получения решения уравнение (4) необходимо дополнить начальными и граничными условиями. Граничные условия зависят от способа закрепления печатного узла:
– для жестко защемленных областей пластины:
; 
; 
. (5)
– для шарнирного крепления:
. (6)
– для незакрепленных областей, по внешнему контуру пластины:
(7)
Начальные условия зададим в виде:
при 
. (8)
Для дискретно-непрерывной модели выражение для прогиба имеет вид:
. (9)
Здесь 
– собственные формы колебаний:
при 
. (10)
После подстановки выражения для прогиба (9) в уравнение (4), с учетом ортогональности собственных форм колебаний, получим:
(11)
Здесь 
– размеры узла на печатной плате. В случае, когда собственная форма 
определена, воздействие 
задано, функцию времени 
дает решение дифференциального уравнения второго порядка (11), которое целесообразно для наглядности записать в виде
. (12)
Здесь:
– собственная частота
; (13)
– масштабный коэффициент
(14)
Для получения однозначного решения уравнения (12) необходимы начальные условия, которые в соответствии с выражениями (8) принимают вид (15)
(15)
Нахождение функций времени 
позволяет, используя выражение для прогиба 
, получить решение в виде пространственно-временного процесса колебаний при выбранном временном масштабе.
Для заданного воздействия 
на области крепления узла на печатной плате можно аппроксимировать функцию 
значениями отсчетов через интервалы времени 
[4, 5]. При аппроксимации функции с требуемой точностью e уравнение (12) для интервала 
будет иметь вид:
. (16)
Здесь
.
В общем виде для каждого интервала 
решение уравнения (16) может иметь вид
при 
; (17)
при 
; (18)
при 
. (19)
Здесь 
.
Для процесса затухающих колебаний при βw/2<1:
(20)
При переходе к следующему интервалу необходимо изменение начальных условий и формирование нового временного интервала для решения задачи определения функции прогиба 
. Уравнения (17) (18) (19) соответствуют затухающему процессу колебаний.
Решение задачи осуществляется на основе метода конечных разностей. Алгоритм моделирования колебаний сводится к формированию конечно-разностного аналога уравнения (4), решению с учетом граничных условий, обусловленных способом закрепления, видом функции плотности 
в соответствии в соответствии с массой навесных элементов и массой материала платы печатного узла.
Задается начальное приближение собственной формы колебаний 
, например, 
для закрепленных областей и 
в свободной от закрепления области. Вычисляется частотный параметр 
:
. (21)
Здесь kx, ky – интегральные коэффициенты; Nx, Ny – количество узлов сеточной модели по направлениям осей координат.
Уточняется значения дискретного представления собственной формы 
, в соответствии со свободными узлами сеточной модели и значение частотного параметра 
. На заключительном этапе выполняется развертка во времени функций, характеризующих реакцию печатного узла на заданные воздействия.
Результаты определения собственных форм и частоты для пластины прямоугольной формы закрепленной в центре с однородным распределением массы показаны на рис. 1 [6]. Форма колебаний соответствует прогибу на 1-й, 6-й, 10-й и 13-й собственных частотах.
а б
в г
Рис. 1. Собственные формы колебаний закрепленной в центре прямоугольной пластины: первая (а), шестая (б), десятая (в), тринадцатая (г)
а б
Рис. 2. а – графическое представление модели узла на печатной плате в программном комплексе моделирования динамики пластинчатых конструкций; б – прогиб узла на печатной плате при ударном воздействии
На рис. 2 показана модель узла на печатной плате и график прогиба при ударном воздействии. Узел имеет одиннадцать точек крепления. Показан прогиб платы с учетом первых семи форм колебаний в диапазоне частот от 100 до 2000 Гц.
При моделировании динамики узлов на печатных платах электронной аппаратуры необходимо исследовать колебания в широком частотном диапазоне. Это позволит выявить в конструкции локальные области механических напряжений и наиболее интенсивных виброперегрузок при эксплуатационных воздействиях.
Обоснованные конструктивные решения по повышению устойчивости изделий к механическим воздействиям могут быть приняты по результатам оценки динамических характеристик на этапе проектирования узлов электронной аппаратуры и приборов.