Scientific journal

Научное обозрение. Педагогические науки

ISSN 2500-3402

ПИ №ФС77-57475

Отметим сразу, что изучение действительных чисел в вузе должно достаточно сильно отличаться от изучения этой темы в школе [12]. Тема «Действительные числа» излагается» различными лекторами и авторами учебников по разному. Традиционно используются аксиоматический метод [2-5] и метод бесконечных десятичных дробей [9-11, 16-19]. Есть еще метод сечений Дедекинда [7, 8, 13]. Связь между указанными методами слабая, и настоящий обзор вместе с [14, 15] частично восполняет данный пробел.

Действительно, если множество не строится конкретно, а задается условиями, то нельзя быть уверенным в его существовании. Это показывает, например, парадокс Рассела [6], который приводится в первом пункте настоящего обзора.

В [9-11, 16-19] действительные числа определяются при помощи бесконечных десятичных дробей. Однако для обоснования свойств действительных чисел привлекаются понятия точных верхней и нижней граней [9, 10, 16] и предела последовательности [17-19]. С другой стороны, понятия точных верхней и нижней граней требуют определения действительного числа, обоснования свойств упорядоченности действительных чисел, а традиционное определение предела последовательности [2-5, 11] требует еще и обоснования арифметики действительных чисел.

Для определения точной верхней грани [16, 18, 19] должно быть определено действительное число и должны быть определены отношения порядка: больше, меньше, равно. В [16] определения точных верхней и нижней граней используются для обоснования арифметики действительных чисел.

В [17-19] вводится предел последовательности, который требует лишь определения и упорядоченности действительных чисел и для обоснования арифметики действительных чисел, чем обеспечивается меньшая, чем в [16], трудоемкость этого обоснования.

Итак, в [2-5] арифметика действительного числа содержится в его определении, а понятия точных граней и предела последовательности даются потом, в [17-19] одно из этих понятий обязательно привлекается для обоснования арифметики действительных чисел. В [15] показано, что, определив действительные числа бесконечными десятичными дробями, можно доказать аксиомы действительных чисел в качестве свойств, не привлекая понятия точных граней и предела последовательности.

В настоящем обзоре мы дадим аналогичный [15] подход изложения этой темы, но с некоторыми изменениями, связанными с удобством и компактностью.

1. Понятие множества, основные обозначения, парадокс Рассела

Множество в математике – понятие исходное, оно не определяется и означает набор или совокупность. Множество состоит из объектов, которые называются его элементами. Множества обычно обозначают большими буквами, а элементы множеств – малыми.

Основные обозначения:

– элемент a принадлежит множеству A, – элемент a не принадлежит множеству A, – для любого a, – существует a, a: – a, такой что, – следует, – равносильно.

Запись означает, что множество A является подмножеством множества B, т.е. . Если и , то пишут . Запись означает, что a и b – это один и тот же элемент, причем должны быть справедливы свойства рефлексивности: ; взаимности: ; транзитивности: .

Объединением множеств A и B, т.е. назовем множество, состоящее из всех элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств A, B.

Пересечением множеств A и B, т.е. , назовем множество, состоящее из всех элементов, каждый из которых принадлежит как множеству A, так и множеству B.

Разностью множеств A и B, т. е. , назовем множество, состоящее из всех элементов A, не входящих во множество B.

Вводится пустое множество ∅ – множество, не содержащее ни одного элемента.

Примеры множеств: – множество из одного элемента, – множество из двух элементов, если эти элементы различны. Однако какое-нибудь множество может содержаться в другом множестве в качестве элемента, например:

;

здесь также предполагается, что a,b и c– различны.

Понятие множества противоречиво. Это показывают парадоксы Бертрана Рассела, один из которых мы приведем [17].

Парадокс Рассела. Множество должно быть определено так, чтобы для любого объекта существовал однозначный ответ на вопрос, принадлежит ли выбранный объект рассматриваемому множеству.

Пусть множество F содержит все те и только те множества, которые не являются элементами самих себя (не содержат себя в качестве элемента):

.

Парадокс состоит в том, что после такого способа задания множества F невозможно однозначно ответить на вопрос: само множество F как элемент принадлежит F или нет.

В самом деле, если предположить, что , то тогда F является элементом самого себя и не может, согласно определению, принадлежать F, т.е. .

Если же предположить, что , то это означает, что F не является элементом самого себя и, поэтому, F как элемент должен принадлежать F, т. е. <<cher26.wmf>>.

2. Аксиоматический метод введения действительных чисел

Непустое множество R называется множеством действительных (вещественных) чисел, а его элементы – действительными (вещественными) числами, если на R определены операции сложения и умножения и отношение порядка, удовлетворяющие следующим свойствам [2].

I. Свойства сложения:

1. (коммутативность);

2. (ассоциативность);

3. ;

4. – число противоположное .

Число – называется разностью a и b. .

II. Свойства умножения:

1. (коммутативность);

2. (ассоциативность);

3. ;

4. – число обратное .

Число – называется частным от деления a на b. и .

III. Свойство сложения и умножения:

(дистрибутивность умножения относительно сложения).

IV. Упорядоченность и ее связь со сложением и умножением. Для любых различных a и b из R справедливо отношение , или, что то же самое, , либо , или, что то же самое, . При этом должны быть выполнены свойства:

1. если и , то (транзитивность);

2. если , то ;

3. если и то .

Множества, удовлетворяющие IV и IV 1 называются упорядоченными.

V. Непрерывность. Пусть X и Y – непустые множества R, такие что

.

Тогда , такое что

. (2.1)

Замечание 1. Множество Q рациональных чисел удовлетворяет всем аксиомам, кроме V.

Действительно, пусть

,

.

Тогда в Q не существует a со свойством (2.1).

Следствия из аксиом I – V.

1. Число 0 единственно.

Действительно, пусть существуют 0 и 0', удовлетворяющие I 3. Тогда, в силу I 1 и I 3

.

2. Число (–a) единственно.

Действительно, пусть существуют (–a) и , удовлетворяющие I 4. Тогда, в силу I 1, I 2 и I 3

3. Аналогично 1 и 2 обосновывается единственность 1 и при .

4. .

Это следует из того, что в силу II 3, II 1, III справедливы равенства, означающие, что удовлетворяет I 3:

5. , или .

От противного, пусть и , тогда, умножив на и используя II 1, II 2 и II 4, получим , что противоречит II 3.

6. .

От противного, пусть , тогда из II 3 следует, что , или, что то же самое, . Согласно I 4 существует . Пользуясь IV 2, из последнего неравенства получаем , или, что то же самое, . Обратимся к IV 3 при и . Это возможно в силу того, что и, поскольку, мы только что доказали, что . В результате получаем , что противоречит неравенству , полученному ранее.

Замечание 2. Ввиду парадокса Рассела возникает вопрос: не получим ли мы во множестве R противоречивого следствия, как это произошло с множеством F предыдущего пункта. Для этого мы построим множество R с помощью бесконечных десятичных дробей.

3. Определение действительных чисел, их упорядоченность и непрерывность

В процессе счета возникают натуральные числа 1, 2, 3, …, n, …, . Множество натуральных чисел обозначим N, а множество целых – Z. Потребности практики приводят к необходимости введения рациональных чисел, т.е. чисел вида , где m – целое, а n – натуральное число. Множество рациональных чисел обозначим Q. Однако, как показывает теория измерений, этого недостаточно, возникает потребность дальнейшего расширения понятия числа.

Всюду в дальнейшем предполагаются известными свойства рациональных чисел [18] (более точно, предполагаются известными свойства конечных десятичных дробей).

Бесконечными десятичными дробями называются символы вида и , где – любое целое неотрицательное число, а каждое – одна из цифр .

Определение 1. Действительным числом называется любая бесконечная десятичная дробь.

Если , то рациональное число называется нижним n-значным приближением действительного числа, а число – верхним n-значным приближением.

Если , то, соответственно, , . Легко видеть, что

, (3.1)

. (3.2)

Множество действительных чисел обозначим R.

Определение 2. Если для двух действительных чисел a и b существует такое целое неотрицательное n0, что

, (3.3)

то , или, что то же самое, , если же существует такое целое неотрицательное , такое что, то

, (3.4)

то , или, что то же самое, . Если же не выполняется ни первое условие ни второе, то .

Следствие. Если выполнено (3.3), то

, (3.5)

аналогично, если выполнено (3.4), то

. (3.6)

Действительно, обращаясь к (3.3) и (3.1), (3.2), получаем

,

откуда и следует (3.5). Аналогично, из (3.4), (3.1) и (3.2) будем иметь

,

откуда и следует (3.6).

Лемма о транзитивности. Если и , то .

Действительно, т.к. , то

,

а если , то

.

Положим . Тогда, на основании (3.5) и (3.6)

, ,

откуда

.

Из последнего равенства следует, что .

Если для некоторых действительных a и bсправедливо либо строгое неравенство , либо равенство , то, объединяя их, пишут нестрогое неравенство , или, что то же самое, .

Критерий равенства. Для справедливости равенства необходима и достаточна справедливость неравенства

, (3.7)

для любого целого неотрицательного n.

Доказательство. Пусть . На основании определения 2 для любого целого неотрицательного n справедливы неравенства

(3.3')

и

. (3.4')

Из (3.3') имеем

,

т.е.

. (3.8)

Из (3.4') получим

,

значит

. (3.9)

Из (3.8) и (3.9) следует (3.7).

Обратно, пусть справедливо (3.7), следовательно справедливы (3.8) и (3.9), из которых следуют (3.3') и (3.4') соответственно. Тогда, по определению 2, следует, что . Критерий доказан.

Если числа a и b имеют одно и то же представление бесконечной десятичной дробью, то они равны.

Действительно, если представление одно и то же, то для любого целого неотрицательного n . Из критерия равенства, применяя (3.7), получаем искомое утверждение.

Числа вида

,

и

,

также будут равными [14–15].

Принцип Архимеда. Для любого действительного числа a существует натуральное число, большее a.

Доказательство. Если , то это натуральное число может быть равно 1. Если , то, т.к. для любого целого неотрицательного n. Но, поскольку,

,

где p и q – натуральны, то

.

Поэтому, в качестве искомого натурального числа мы возьмем , где p и q – числитель и знаменатель соответственно.

Принцип математической индукции. Пусть множество , N – множество натуральных чисел, которое обладает свойствами:

1˚. ;

2˚. .

Тогда . [3, 4, 14].

Этот принцип берется в качестве аксиомы натуральных чисел [3, 4, 14].

Плотность рациональных чисел во множестве действительных. Для любых действительных чисел a и b таких, что , существует рациональное число r, удовлетворяющее неравенству .

Доказательство. Если , то согласно следствию из определения 2, существует натуральное n0, такое что для любого натурального справедливо неравенство

.

Положив , поскольку , получаем справедливость неравенства . Таким образом, в качестве r в требуемом неравенстве можно взять любое rn при .

Замечание. Рациональных чисел r между a и b можно вставить бесконечно много.

Действительно, рациональных чисел между a и b можно вставить бесконечно много, поскольку в качестве рационального r между a и b можно взять любое rn при натуральных , а их бесконечно много.

Лемма о равенстве. Если две разные десятичные дроби равны, то одна из них конечная, а другая периодическая с периодом 9.

Доказательство. Пусть даны две разные десятичные дроби:

,

и .

Пусть l – наименьшее число, для которого . По критерию равенства . Далее,

.

В силу оценки

,

имеем

.

Таким образом,

,

откуда

. (3.10)

Пусть, для определенности , тогда из (3.10) следует, что

,

и тогда

. (3.11)

Положим в (3.11) , отсюда

.

Из критерия равенства получаем . Поскольку

,

то либо

,

либо

.

Если

,

то , что невозможно, поскольку – цифра от 0 до 9. Если

,

то , а поскольку такая же цифра от 0 до 9, то , а и, кроме того:

,

и из (3.11)

. (3.11')

Повторяя те же рассуждения, получим , и т.д.

Из определения 2 следуют свойства равенств: рефлексивности и взаимности, а из леммы о равенстве следует свойство транзитивности [9, 10].

Итак, во множестве чисел введены отношения порядка: «меньше», «больше», «равно» и доказано, что для любых двух действительных чисел выполняется лишь одно из этих трех отношений порядка. Причем для этих отношений порядка выполнены условия транзитивности. Такие множества называются упорядоченными [10, 11].

Следствие из леммы о транзитивности. Если и , то .

Доказательство следует из леммы о транзитивности и транзитивности равенства.

В дальнейшем, где это возможно, будем исключать из рассмотрения периодические десятичные дроби с периодом 9 [10, 11].

Достаточное условие равенства. Пусть для двух действительных чисел a и b и любого целого неотрицательного n существуют рациональные числа rn и Rn и целое неотрицательное N, удовлетворяющие неравенствам

; (3.12)

. (3.13)

Тогда, .

Доказательство. Предположим противное: . Пусть для определенности . Тогда, на основании (3.1), (3.2), (3.3) и (3.12) имеем

. (3.14)

По лемме о транзитивности неравенство (3.14) упрощается до неравенства, содержащего лишь рациональные числа:

. (3.15)

Из (3.15) [17] мы получим

Из неравенства (3.13) и последнего следует, что

,

или

.

Последнее должно быть справедливо для любого целого неотрицательного n. Поскольку , то для любого целого неотрицательного n справедливо неравенство

,

а это противоречит принципу Архимеда.

Теорема непрерывности. Пусть X и Y– непустые множества из R, такие что

. (3.16)

Тогда

. (3.17)

Доказательство. В силу (3.16) зафиксируем и . Если , то и (3.17) доказано. Пусть, далее . Отметим, что определить действительное число означает указать правило, по которому с помощью конечного числа операций можно найти n-значное приближение числа a для любого целого неотрицательного n, и при этом должно быть выполнено неравенство

, (3.18)

т.к. это неравенство вытекает из определения бесконечной десятичной дроби [6, 7, 8, 9, 10, 11]. Построим число a, указав способ вычисления его n – значного приближения . Рассмотрим множество рациональных чисел , каждое из которых является n-значным приближением всех чисел между и . Хотя X может быть бесконечным, тем не менее, множество n-значных приближений – конечно. В самом деле, между и содержится конечное число рациональных чисел, имеющих n знаков после запятой. Количество таких дробей ограничено сверху числом . В конечном множестве есть наибольший элемент, его мы и выберем в качестве n-значного приближения :

. (3.19)

Построенные приближения удовлетворяют неравенству (3.18), т.к. нарушение этого неравенства означало бы, что не есть наибольший элемент множества . Действительно, пусть

. (3.20)

Существует , такое что

, (3.21)

т.е. в X должно существовать число , такое что его (n+1)-значное приближение с недостатком совпадает с . Но тогда

, (3.18′)

потому что и – суть и n-значные приближения . Отсюда, получаем

,

а значит

. (3.22)

Здесь мы выразили из (3.18′), воспользовались (3.21), а, затем, и (3.20). Неравенство (3.22) противоречит (3.19).

Итак, число a определено.

Докажем теперь, что построенное число a удовлетворяет (3.17).

Сначала, докажем, что

от противного. Пусть существует число , такое что . Поэтому, что существует целое неотрицательное m, такое что . Но последнее невозможно в силу (3.19).

Теперь докажем, что

от противного. Пусть существует число , такое что . Это значит, что существует целое неотрицательное p, такое что . Но тогда, существует , такое что . С другой стороны, . Т.о.,

,

или , что противоречит (3.16). Последнее завершает доказательство (3.17).

Лемма о числе. Для любого действительного числа a и любых целых неотрицательных m и n справедливо неравенство

. (3.23)

Доказательство. Существование a в (3.23) следует из теоремы непрерывности. Действительно, пусть множество , а множество . Нужно доказать лишь справедливость (3.16), т.е.

, (3.16′)

для любых целых неотрицательных m и n. Но из (3.1) и (3.2) можно заключить, что

, (3.16″)

откуда следует неравенство более сильное, чем (3.16′):

. (3.16′″)

Единственность a из (3.23) докажем от противного. Пусть существуют a и b не обязательно равные между собой, удовлетворяющие (3.23). Поскольку b удовлетворяет (3.23), то

. (3.23')

Положив, теперь, в (3.23) и (3.23') , получим

. (3.23″)

Поскольку,

то на основании (3.23″), последнего равенства и достаточного условия равенства заключаем, что .

Лемма Дедекинда. Пусть множества X и Y, состоящие из рациональных чисел таковы, что:

а) любое рациональное число попадает либо в X, либо в Y;

б) множества X и Y непустые;

в) и . (3.24)

Тогда, существует единственное действительное число a такое, что

и . (3.25)

Доказательство. Из неравенства (3.24) следует справедливость (3.16), поэтому выполнено (3.17). Следовательно, существование a из (3.25) прямо следует из теоремы непрерывности.

Докажем единственность a из (3.25). Рассуждаем от противного, т.е. пусть существует , удовлетворяющее (3.25), а именно:

и . (3.25')

Пусть для определенности . Согласно плотности рациональных чисел во множестве действительных, существует рациональное r, удовлетворяющее неравенству , и тогда для любого и любого . Поскольку , то в силу (2.25) r не может принадлежать X. Поскольку , то в силу (2.25′) r не может принадлежать Y. Т.о., , что противоречит условию и лемма доказана.

Теорема Дедекинда. Пусть множества X и Y, состоящие из действительных чисел таковы, что:

а) любое действительное число попадает либо в X, либо в Y;

б) множества X и Y непустые;

в) и . (3.26)

Тогда, существует единственное действительное число a такое, что

и . (3.27)

Доказательство. Из неравенства (3.26) следует справедливость (3.16), поэтому выполнено (3.17). Следовательно, существование a из (3.27) прямо следует из теоремы непрерывности.

Докажем единственность a из (3.27). Рассуждаем от противного, т.е. пусть существует , удовлетворяющее (3.27), а именно:

и . (3.27')

Пусть для определенности . Согласно плотности рациональных чисел во множестве действительных, существует рациональное r, удовлетворяющее неравенству , и тогда для любого и любого . Поскольку , то в силу (3.27) r не может принадлежать X. Поскольку , то в силу (2.27′) r не может принадлежать Y. Таким образом, , что противоречит условию и теорема доказана.

Замечание. Лемма Дедекинда, которой нет в [16], на наш взгляд, очень важна, т.к. она фактически устанавливает связь между подходами к определению действительного числа при помощи бесконечных десятичных дробей и определением действительного числа через сечения множества рациональных чисел по Дедекинду [14, 15].

4. Геометрическая интепретация действительных чисел

Геометрически множество действительных чисел изображается направленной (ориентированной) прямой, а отдельные числа – точками этой прямой. Поэтому, совокупность действительных чисел часто называют числовой прямой, а также числовой или действительной осью, а отдельные числа – ее точками. При такой интерпретации действительных чисел иногда вместо a меньше b (b больше a) говорят, что точка a лежит левее точки b (b лежит правее a).

Пусть a и b – действительные числа и . Тогда интервал и отрезок определяются равенствами и соответственно. В свою очередь, полуинтервалы аналогично определяются равенствами

.

Интервал, отрезок и полуинтервалы называются конечными промежутками. Часто термин «конечные» опускается. Длину этих промежутков будем считать .

Бесконечные промежутки определяются равенствами:

и .

Замечание. Отметим, что в теореме Дедекинда в качестве множества действительных чисел, которое состоит из X и Y, не обязательно брать всю действительную прямую. В качестве этого множества можно взять любой промежуток действительной прямой, например .