science-review.ru
Ортогональная упаковка сфер. Рассмотрим наиболее простой случай ортогональной упаковки сыпучего материала, состоящего из элементов сферической формы радиусом r, при этом емкость имеет форму параллелепипеда размерами L x B x H (рис. 1). Определим максимально плотную упаковку одинаковых сфер, которые могут поместиться в объем заданной ёмкости. Количество сфер радиусом r, которые будут занимать весь внутренний объем параллелепипеда (рис.1,а), равна целой части от выражения:
. (1)
а б в
Рис. 1. Упаковки сфер в объеме параллелепипеда: а – ортогональная, б – гексагональная, в – равносторонний треугольник ABC
Ортогональная упаковка неплотная. Коэффициент заполнения объема при ортогональной упаковке равен отношению объема сфер к объему параллелепипеда:
. (2)
Гексагональная упаковка сфер. Рассмотрим случай гексагональной упаковки сфер (рис. 1,б). Эта упаковка является более плотной [1, 2] . На рис. 1,в показано, что при гексагональной упаковке линии, соединяющие центры сфер представляют собой равносторонний треугольник АВС, при этом углы равны 60° или 
.
Для размера L число сфер будет уменьшаться на 1 для четных рядов (рис. 1,б). Число сфер должно быть целым числом:
, (3)
где d – диаметр сфер.
Для размера B расстояние между слоями сфер будет уменьшаться, причем нижний слой и верхний слой будут иметь размеры, равные d, а размеры внутренних слоев будут уменьшаться на величину 
(рис. 1,в). С учетом этого, число сфер по направлению B будет равно
, (4)
где число сфер должно быть также целым числом.
Используя выражение (4) для B = 6, получим
,
то есть общее уменьшение расстояния между слоями меньше 1. А если взять B для 8 слоев, то из (4) следует
,
то есть при 
начинается добавление слоев из-за гексагональной упаковки сфер. Например, для B = 100,
.
Для размера Н расстояние между слоями сфер будет также как для размера М уменьшаться, причем также нижний слой и верхний слои будут иметь размеры, равные диаметру d , а размеры внутренних слоев будут уменьшаться на величину 
, аналогичную (рис. 1,в). С учетом этого, число сфер по направлению H будет равно:
, (5)
где число сфер должно быть также целым числом.
Общее число сфер в прямоугольном объеме HML с учетом (3), (4), (5) будет равно:
(6)
Гексагональная упаковка более плотная. Коэффициент заполнения объема при гексагональной упаковке равен аналогично (2) отношению объема сфер к объему параллелепипеда:
(7)
Определим объем всех сфер в прямоугольном параллелепипеде с размерами 
; 
; 
. Для 
, используя (6), получим число сфер при гексагональной упаковке
(8)
Коэффициент заполнения объема при гексагональной упаковке будет равен:
, (9)
что на 22,75% выше чем для ортогональной упаковки сфер.
Ортогональная упаковка эллипсоидов. В емкости формой прямоугольного параллелепипеда HBL расположены эллипсоиды. Определим объем всех эллипсоидов, ориентированных ортогональным образом (рис. 2).
Рис. 2. Ортогональная упаковка эллипсоидов
Объем эллипсоида вычисляется по формуле [3]
, (10)
где abc – любые неотрицательные числа.
В отличие от сферы, где a = b = c у эллипсоида имеется три различных диаметра.
Вывод формул количества эллипсов и незанятого объема прямоугольного параллелепипеда аналогичен выводу формул для сферы. Количество эллипсов высчитывается перемножением соответствующих формул (10) и (1)
. (11)
Незанятый объем прямоугольного параллелепипеда
. (12)
Следующий вариант – гексагональная (рис. 3а) и другие упаковки эллипсоидов (рис. 3c).
а
b
c
Рис. 3. Гексагональные виды упаковок эллипсоидов
При расположении эллипсоидов на рис. 3 необходимо определить количество эллипсоидов и незанятый объем прямоугольного параллелепипеда, используя различные ориентации треугольников, сформированных из центров эллипсоидов.
Свободная гексагональная упаковка сфер без наличия ограничительных плоскостей. Для данного варианта упаковки необходимо выполнить анализ сил, действующих на сферы. На сферы, находящиеся, в емкости действуют две основные силы: сила тяжести (рис. 4,а) и сила трения (рис. 4,б).
а б
Рис. 4. а – сила тяжести сфер; б – сила трения между сферами
Поскольку сыпучие материалы подчиняются физическим законам, как твердых веществ, так и жидкостей, то в них будут действовать силы трения внешние и внутренние. Внешние силы действуют в покое между сферами. Внутренние будут действовать в случае движения сфер, например, если убрать боковые стенки (рис. 5)
Рис. 5. Положение сфер в случае отсутствия боковых стенок
Сила трения скольжения Ffr пропорциональна силе нормального давления Pn, с которой оно действует на другое тело [4, 5]. Коэффициент Kfr определяет трение скольжения, зависящее от свойств соприкасающихся поверхностей.
. (10)
В данном случае под действием силы тяжести, которая будет равна силе нормального давления, сферы будут выведены из положения покоя и приведены в движение. Так как вышестоящий объект опирается на нижестоящий, то движение прекратится тогда, когда будет принята устойчивое положение. Постоянное по величине давление вызывает скольжение соприкасающихся слоев объектов сыпучих материалов один относительно другого. В результате центральные слои будут двигаться со значительно большей скоростью, чем возле стенок и дна [6].
Исследования упаковки одинаковых сфер является актуальной задачей в настоящее время, поскольку эти исследования развивают задачи определения параметров сыпучих материалов. Кроме того данное исследование поможет наиболее плотно разместить какой-либо сыпучий материал в заданной емкости.