Scientific journal

Научное обозрение. Педагогические науки

ISSN 2500-3402

ПИ №ФС77-57475

В настоящее время преподавание многих дисциплин, в частности, математической направленности, переживает этап значительных перемен, связанных с внедрением в учебный процесс различных пакетов современной компьютерной математики. В качестве средств компьютерной математики нами выбраны системы Mathcad и Maple. Почему?

Первая из них обладает чрезвычайной простотой интерфейса, которая сделала Mathcad одним из самых популярных среди обучающихся математическим пакетом. Математические выражения на экране компьютера представляются в общепринятой и знакомой нотации – имеют такой же вид, как в книге, тетради, на доске. С ними можно выполнять численные или символьные операции, строить графики и т.п.

Система Maple в диалоговом режиме решает огромное число математических задач, от простых расчетов и численного моделирования до сложнейших аналитических преобразований и вычислений. Она имеет мощные графические средства, встроенный язык программирования, является справочником по практически всем разделам современной математики. Maple, как и Mathcad, – это среда для всех. В ней есть пакет для студентов STUDENT, имеются пакеты узкого назначения для профессиональных математиков.

Эти системы компьютерной математики предоставляют пользователю обширный набор инструментов для реализации графических, аналитических и численных методов решения математических задач. Выполняя рутинные или громоздкие несущественные операции, пакеты позволяют учащемуся, не владеющему в полной мере техникой математических преобразований, самостоятельно выполнять громоздкие вычисления, решать содержательные примеры, приобрести устойчивые навыки решения общематематических и прикладных задач. В качестве таковых в данной статье рассматриваются задачи, связанные с решениями уравнений .

Даются рекомендации по применению пакетов Mathcad и Maple в задачах, связанных с решением уравнений. Цель данной статьи – показать, как быстро и легко можно решать в указанных средах задачи по означенной тематике.

Учащемуся полезно иметь под рукой справочные пособия или руководства по указанным системам, например, книги [1–5]. Предполагается наличие хотя бы первичных навыков работы в этих системах, в частности, умение редактировать и форматировать графики, формулы, результаты вычислений. Основным объектом в работе будут функции. Их имена в Mathcad и Maple могут быть различными, например, арктангенс – соответственно atan(x), arctan(x). Для получения информации о функции в Mathcad следует щелкать

,

а в системе Maple набрать? f;, где f – имя интересующей Вас функции.

Перейдем к рассмотрению некоторых знаменитых уравнений и к их решению. К их числу относятся, конечно, кубические уравнения. Начнем со следующего наводящего примера.

Пример 1. Требуется доказать, не используя средств вычислений, что число есть 1.

Решение. Согласно формуле получим

,

откуда вытекает, что r есть корень кубического уравнения

. (1)

Видно, что y = 1 является также его корнем. Других действительных корней нет, так как кубический многочлен есть возрастающая функция (у него производная всюду положительная). В силу единственности корня имеем r = 1. Но попробуйте это доказать непосредственно! Фактически любое доказательство предполагает использование того, что r является корнем уравнения (1). Если же не угадать этого, то при преобразованиях будут возникать неистребимые кубические радикалы.

Методы решения линейных и квадратных уравнений были известны еще древним грекам. Решения в радикалах уравнений третьей и четвертой степеней были получены усилиями итальянских математиков С. Ферро, Н. Тартальи, Д. Кардано, Л. Феррари в эпоху Возрождения. Увлекательную историю этих открытий можно найти в работах или в интернете. Затем наступила пора поиска формул корней алгебраических уравнений более высоких степеней. Настойчивые, но безрезультатные попытки продолжались около 300 лет и завершились в 19 веке работами норвежского математика Н. Абеля. Он доказал, что общее уравнение степени пятой и выше неразрешимо в радикалах: решение нельзя выразить через коэффициенты уравнения с помощью арифметических действий и извлечений корней. А если рассматриваются неалгебраические уравнения, то ситуация еще более ухудшается. В этом случае найти для корней явные выражения, за редким исключением, не удается. Примером может служить очень простое уравнение x = cos x, имеющее вполне реальное происхождение (см. далее задачу о вычислении площади поверхности испарения). Поэтому читателю следует уяснить себе, взять на вооружение тот факт, что решение уравнения в виде формулы – это не правило, а исключение!

Вернемся к кубическому уравнению – уравнению третьей степени

.

Подстановкой оно сводится к так называемому каноническому виду

,

где

.

Решение канонического уравнения получается по формуле Кардано

.

Ясно, что если выражение под знаком квадратного корня положительное, то уравнение имеет один действительный корень. Именно так обстоит дело с уравнением (1). По формуле Кардано его корень – тот самый, который выше в наводящем примере был обозначен через r. Пример показывает, что даже готовая формула корня является неудобной или даже бесполезной для практического применения.

Первые попытки найти решения задач, сводящихся к кубическим уравнениям, были сделаны в древности. К таким уравнениям сводятся, например, задачи об удвоении куба и трисекции угла. Рассмотрим последнюю из них.

Трисекция угла – это разделение его на три равные части. Наряду с другими классическими задачами она сыграла большую роль в развитии математических методов. Первоначально трисекцию угла стремились осуществить с помощью циркуля и линейки, что удавалось лишь в отдельных случаях (для углов ). Трисекция угла сводится к решению кубического уравнения вида

. (2)

В XV веке арабский астроном аль-Каши для составления весьма точных таблиц тригонометрических функций и вычисления синуса одного градуса по известному синусу трех градусов впервые применил итерационный метод решения такого кубического уравнения. Ниже мы пройдем по следам аль-Каши, проделав его вычисления в Mathcad как упражнение на усвоение системы. Что касается точной трисекции угла в общем случае с помощью циркуля и линейки (т.е. разрешимости соответствующего кубического уравнения в квадратичных радикалах), то оказалось, что она невозможна (П. Ванцель, 1837 г.).

Аль-Каши исходил из формулы синуса тройного угла . Полагая sin 3 ° = s, sin 1 ° = x, получим согласно этой формуле кубическое уравнение вида (2) с q = s/4, p = 3/4. Из него

.

Функция f(x) непрерывна на отрезке [0; 1/4] отображает его в себя и имеет неотрицательную производную, не превосходящую 0,5. Этого достаточно, чтобы отображение f:[0; 1/4]>[0; 1/4] было сжимающим. Согласно принципу сжатых отображений его единственная неподвижная точка является пределом итерационной последовательности , в которой начальное приближение произвольное, а каждое последующее приближение находится через предыдущее по формуле . Примем x0 = 0 и проделаем 5 итераций в системе Mathcad.

Несколько комментариев к этому документу. В нем с десятью десятичными знаками найден синус трех градусов (аль-Каши эта величина была известна), задана функция. Во второй строке вычислены ее значения на концах отрезка для подтверждения того, что действительно происходит отображение «в себя». В третьей строке заказано число итераций и индексная переменная (счетчик). Далее – начальное приближение, итерационная формула и результаты счета с 10 D. Если нарисовать график отображающей функции вместе с биссектрисой первого координатного угла, то увидим, что график f(x) идет почти прямолинейно и почти горизонтально. Это дает плохую визуализацию вычислений, поэтому лучше обратиться к рис. 1, на котором изображена «лестницеобразная» ломаная, показывающая одностороннюю сходимость (одинаковый масштаб для наглядности не соблюден).

Из кубических уравнений, вошедших в историю математики, отметим еще два. Одно из них – это уравнение , которое в X веке рассматривал аль-Бируни в связи с определением стороны правильного 9-угольника. Позже Л. Фибоначчи (XII век) решал уравнение . Его анализ показал: единственный действительный корень не может быть ни одной из иррациональностей, встречающихся у Евклида. Это было первым шагом в вопросе о решениях уравнений в радикалах.

В системе Mathcad для нахождения всех корней алгебраического уравнения есть встроенная функция polyroots(c), вычисляющая корни по вектору c коэффициентов уравнения. С ее действием познакомимся на примере уравнения Фибоначчи. Перепишем его с нулем в правой части и приведем фрагмент документа, выводя результаты с 6D.

Обратите внимание на запись вектора коэффициентов: сначала указывается (при движении сверху вниз) свободный член уравнения, затем коэффициент при x и т.д.

Кубические уравнения, возникшие в глубокой древности, и сегодня встречаются в теоретических и прикладных исследованиях. Например, при вычислении , когда аргумент очень близок к 1, возникает опасность неустойчивости (аргумент изменится мало, функция – намного). Поэтому используется следующий прием: , где y – корень уравнения , который можно легко найти, например, методом Ньютона. Если, например, 0,966 < x < 1, то 0,422 < y <0,5.

К кубическому уравнению приводят задачи, связанные с объемом шарового сегмента (см. рис. 2). Пусть, например, требуется выполнить трисекцию шара – двумя параллельными плоскостями разрезать его на три равновеликие по объему части. В фольклорном варианте такой задачей занималась Лиса, деля круглую головку сыра себе и двум медвежатам (см. работу [6, с. 19, задача 54]). Плутовка не без выгоды оставляла себе среднюю часть. Какую часть диаметра должна составлять ее толщина, чтобы дележ сыра был «справедливым»?

Пусть толщина средней части равна 2a, так что h = R – a. Надо найти величину . Вспоминая формулу объема шара, имеем по условию, что

.

Отсюда с 6D x = 0,226074, так что толщина средней части около 23 % диаметра.

Рис. 1. «Лестницеобразная» ломаная

Рис. 2. Трисекция шара

Далее рассмотрим некоторые уравнения, не являющиеся алгебраическими. Для их решения система Mathcad предоставляет ряд мощных встроенных функций с именами root, find, minerr. Продемонстрируем их действия на примере уравнения , возникшего из коммерческой арифметики, которое решал Лука Пачоли (XV век). Перепишем уравнение с нулем в правой части, после чего левую часть обозначим f(x). Если построить график этой функции, то увидим, что искомый корень лежит где-то между 3 и 4. Наберем с клавиатуры следующий текст.

Здесь после ввода функции была задана начальная точка поиска и найдена конечная точка x1 с помощью функции root. Значение функции в точке x1 не есть точный ноль, но весьма близкая к нему величина. Более точные результаты получены в следующем фрагменте при использовании функций find и minerr. Обратите внимание, что они «работают» в директиве Given, перед именем которой также задаются начальные приближения к искомому корню.

В заключение рассказа об уравнении Пачоли отметим связь задач между поисками корней уравнения и поиском экстремума функции. Когда ищется экстремум, типичный порядок действий обычно таков: найдем у исследуемой функции производную, приравняем ее к нулю, решим полученное уравнение,…. Но возможно и обратное действие: поиск корня уравнения f(x) = 0 свести к минимизации функции или . Если минимум достигается в какой-то точке и равен нулю, то эта точка и есть нуль функции f(x). Эту ситуацию и показывает следующий, последний фрагмент документа.

Если уравнение Пачоли было трансцендентным, то в следующем примере, именуемом «индийской задачей», оно иррациональное и может быть сведено к алгебраическому. Речь пойдет об одной задаче, широкоизвестной в англоязычной литературе и малоизвестной у нас.

«Индийская задача». К двум диаметрально противоположным точкам дна круглого колодца (рис. 3) приставлены тростинки длинами L, l, которые скрещиваются на высоте h от днища. Можно ли найти диаметр колодца? Решить задачу в случаях:

а) L = 30, l = 20, h = 8;

б) L = 105, l = 87, h = 35.

В литературе указанные величины задавались в футах. Но не в единицах измерения дело. Одна из задач состояла в поиске целочисленных значений диаметра x (см. рис. 3) при целочисленных значениях параметров. Наша задача здесь более скромная – решить уравнение

, (3)

вывод которого геометрически прозрачен. Из подобий треугольников рис. 3 имеем

.

Выразим отсюда a, b и сложим их – получим x. Откуда и вытекает равенство (3).

Полученное иррациональное уравнение подстановкой можно свести к уравнению

,

решить его в Mathcad с помощью функции polyroots и отсеять посторонние корни. Но проще, по-видимому, сразу решать уравнение (3), задавая начальную точку поиска, равную, например, l/2.

Любопытно, что «Индийская задача» в одном из рассказов известного советского писателя-фантаста И. Ефремова была основой следующего сюжета. В жрецы посвящался тот, кто мог решить рассматриваемую задачу. В древней Индии кандидата в жрецы заточали в колодец, и если он представлял решение, то считался прошедшим испытание. Иначе…. Герой рассказа справился с заданием, решив, по предположению авторов уравнение четвертой степени, к которому сводится уравнение (3). Но историки математики весьма скептически отнеслись к такой гипотезе: во времена, когда происходило действие рассказа, полные уравнения четвертой степени вряд ли решались. Скорее всего, герой рассказа «на глазок» оценил диаметр колодца и занялся перебором. Например, в случае б) число 63 удовлетворяет уравнению (3).

В заключение рассказа о замечательных уравнениях приведем такую задачу.

«Задача о площади поверхности испарения». При хранении нефтепродуктов, хранящихся в горизонтальных цилиндрических резервуарах (рис. 4, а), происходит их естественная потеря из-за испарения, которая пропорциональна площади поверхности испарения. Эта площадь считается стандартной, если резервуар заполнен на 75 % своего объема. Найдите стандартную площадь поверхности испарения при заданных размерах емкости.

Решение. Искомая площадь S = AB•l (рис. 4, б), причем хорда отсекает от круга (торца резервуара) сегмент AnB площади, составляющей четверть площади круга. Если α – радианная мера центрального угла AOB, то имеем

.

Здесь площадь сегмента найдена как разность между площадью сектора OAnB и площадью треугольника AOB. Таким образом, , и если мы положим , то получим уравнение x = cos x. Его решение методом итераций можно найти в работах или в интернете. С 3D ответ x = 0,739. По найденному x мы найдем угол α, а по нему и хорду, опирающуюся на него, и, следовательно, искомую площадь испарения. Так распутывается клубок, начало действия которому – это корень уравнения x = cos x, который «хоть видит око, да зуб неймет».

Рис. 3. «Индийская задача»