Для студентов, начинающих изучать математический анализ, первая серьезная проблема – это освоение темы «Действительные числа». Успешное изучение этой темы, как показывает учебный процесс, весьма затруднительно. Для успешного освоения этой темы некоторым студентам бывает недостаточно прослушать лектора и посетить семинары по следующим причинам. Тема «Действительные числа» читается различными лекторами по-разному. По-разному она излагается и в популярных учебниках, ставших классическими. Используется аксиоматический метод, метод бесконечных десятичных дробей, метод сечений Дедекинда. Связь между этими методами слабая. В настоящем обзоре излагаются и приводятся в соответствие два метода введения действительных чисел: аксиоматический и при помощи бесконечных десятичных дробей. Упоминается также метод сечений рациональных чисел по Дедекинду и делается попытка частично привести этот метод со вторым методом. Теорема Кантора о вложенных отрезках добавляется, т. к. в некоторых изложениях она участвует в аксиоматике. Обзор, по нашему мнению должен быть интересен как студентам младших курсов, изучающим математический анализ, так и студентам старших курсов, аспирантам, а также научным работникам и преподавателям, интересующихся аксиоматикой.
For students starting to learn calculus, the first serious problem is the development of the theme «real numbers». Successful study of this subject, shows the learning process, is very difficult. For the successful development of this subject some students is not enough to listen to the lecturer and to attend seminars on the following reasons. Topic «real number» is read by different lecturers in different ways. Differently it is presented in popular textbooks, which became a classic. Used axiomatic method, method of infinite decimal fractions, the method of Dedekind sections. The relationship between these methods is weak. In the present review outlines and reconciled two methods of introduction of real numbers: axiomatic and using the infinite decimal fractions. Also refers to a method of sections of rational numbers by Dedekind and attempts to bring this method to the second method. Cantor’s theorem on nested intervals is added, because in some writings she is involved in the axiomatics. The review, in our opinion should be interesting as the undergraduate students studying mathematical analysis and senior students, graduate students, and researchers and teachers interested in the axiomatics.
1. Андронов И.К., Окунев А.К. Арифметика рациональных чисел: Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1971. – 399 с.
2. Бесов О.В. Лекции по математическому анализу. – М.: Физматлит, 2014. – 480 с.
3. Бесов О.В. Лекции по математическому анализу. Ч. 1: учеб. пособие.– М.: МФТИ, 2004. – 328 с.
4. Иванов Г.Е. Лекции по математическому анализу. Ч. 1: учеб. пособие. – М.: МФТИ, 2000. – 359 с.
5. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа: учебник для вузов. – М.: Наука. Гл. ред физ.-мат. лит., 1989. – 736 с.
6. Курс лекций: элементы дискретной математики. – М.: МГТУ «МАМИ», 2006 – 272 с.
7. Ландау Э. Основы анализа. – М.: ИЛ, 1947. – 182 с.
8. Петрович А.Ю. Лекции по математическому анализу. Ч. 1: учебное пособие. – М.: МФТИ, 2012. – 275 с.
9. Рождественский Б.Л. Лекции по математическому анализу. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1972.– 544 с.
10. Рождественский Б.Л. Лекции по математическому анализу. Ч. 1: учеб. пособие. – М. МИФИ, 1967. – 264 с.
11. Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа: учеб. пособие для вузов.– М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. – 816 с.
12. Ульянова Т.В. Методические акценты в преподавании темы «Действительные числа» на профильном уровне // Омский научный вестник. – № 4 – 99. – 2011. – С. 202 – 204.
13. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. – М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1962. – 607 с.
14. Черняев А.П. Действительные числа и теорема Кантора.: учебно-методическое пособие. – М.: МФТИ, 2015. – 48 с.
15. Черняев А.П. Действительные числа: учебно-методическое пособие. – М.: МФТИ, 2010. – 46 с.
16. Яковлев Г.Н. Вещественные числа. Методические указания для студ. 1 курса: учебно-методическое пособие. – М.: МФТИ, 1972.– 23 с.
17. Яковлев Г.Н. Лекции по математическому анализу. Ч. 1: учеб. пособие для вузов.– М.: Изд-во физ.-мат. лит., 2004.– 340 с.
18. Яковлев Г.Н. Лекции по математическому анализу. Ч. 1: учеб. пособие.– М.: Физматлит, 2001.– 400 с.
19. Яковлев Г.Н. Числовые последовательности и непрерывные функции: учеб. пособие.– М.: МФТИ, 1992.– 60 с.