science-review.ru
Задачи оптимизации топологии или вычисления формы конструкций актуальны ввиду целесообразности снижения материалоемкости и повышения конкурентоспособности изделий различного значения. В связи с этим проводятся теоретические и прикладные исследования в области оптимизации формы и структуры конструкций [1, 2].
Совершенствуются математические модели и методы топологической оптимизации для решения прикладных задач по обеспечению несущей способности конструкций на этапе проектирования. Рациональное использование конструкционных материалов имеет существенное значение для многих изделий, например, авиационно-космической и автомобильной промышленности, машиностроения и др.
Эффективность методов топологической оптимизации подтверждается возможностью вычисления классических конструктивных форм, таких как арок, кронштейнов, упоров, других. Решения могут быть найдены на основе обоснования методов распределения материала в выбранной области в соответствии с конструктивными, технологическими и эксплуатационными требованиями, предъявляемыми к конструкции.
В работах [3, 4] предлагается модель области допустимого распределения материала, которая определена как область проектирования. Исследование состояния конструкций проводится по результатам решения уравнений математической физики, например, уравнений Ламе теории упругости или уравнения теплопроводности Фурье на основе конечно-элементной или конечно-разностной аппроксимации.
В наиболее общей постановке оптимизация формы состоит в определении наличия или отсутствия материала в каждой точке области проектирования. Для неоднородных конструкций характеристики материала являются функциями координат.
При дискретизации области проектирования с применением метода конечных элементов или метода конечных разностей, в отличие от традиционного подхода, предполагается, что каждый элемент объема может быть как «пустым», так и «заполненным материалом». Топология конструкции формируется «заполненными материалом» элементами объема области проектирования.
Такая постановка приводит к дискретной оптимизационной задаче. Поэлементный анализ состояния материала позволяет организовать целенаправленный пошаговый итерационный процесс оптимизации топологии конструкции в области проектирования. Может иметь место «перераспределение» материала по элементам объема, «введение или удаление материала».
Подход к проектированию топологии на основе поэлементного анализа и перераспределения материала может рассматриваться как процесс изменения выбранной исходной топологии неоптимальной конструкции или заготовки изделия, при избыточном или недостаточном объеме используемого материала.
Координаты узлов сеточной модели при топологической оптимизации с применением метода конечных элементов могут быть фиксированными или могут являться переменными проектирования. Это приводит к целенаправленному формированию в процессе решения задачи, как топологии модели конструкции, так и топологии области проектирования.
Исследования в области топологической оптимизации и топологического синтеза конструкций, несущих механическую нагрузку, основаны на методах и положениях прикладной механики, вариационной формулировки метода конечных элементов, численных методах решения задач теории упругости.
Методы топологической оптимизации и автоматического топологического синтеза структуры не исключают творческого подхода к проектированию конструкций различных изделий. Данные для постановки и решения задач топологической оптимизации на этапе проектирования формируются по результатам прогнозирования возможных воздействий при эксплуатации изделия.
Способ построения модели конструкции показан на рис. 1. Модель строится в области проектирования D размером 
Рис. 1. Построение модели конструкции в области проектирования
В рассматриваемом случае область проектирования D разбивается на прямоугольные элементы объема. Положение каждого элемента Eij размером 
задается целочисленными координатами i, j; i=1, …, N, j=1,…M.
Для элемента объема Eij вводится переменная aij, характеризующая «наличие» или «отсутствие» материала. При решении задач топологической оптимизации переменные αij являются переменными проектирования. Модель конструкции представлена распределением материала по элементам объема.
В качестве переменных распределения материала αij целесообразно использовать переменной импликативной алгебры выбора (ИАВ) Волгина Л.И. [5]. Для операций ИАВ допускается как логическая, так и алгебраическая форма записи. Введение переменных ИАВ для построения модели в области проектирования позволяет реализовать различные способы формирования конструкций. Способ построения геометрического описания каркаса в области проектирования основе удаления материала 
показан на рис. 2.
Топологическая оптимизация конструкции при механических воздействиях осуществляется по результатам исследования напряженно-деформированного состояния и распределения нагрузки по объему материала. В зависимости от предъявляемых эксплуатационных требований, технологических ограничений оптимизация осуществляется с целью снижения массы конструкции, обеспечения необходимой жесткости или прочности при заданном объеме используемого материала, предотвращения возможного разрушения или потери работоспособности.
Нагрузка материала оценивается путем сопоставления значения некоторой физической величины, например, энергии деформации или энергии формоизменения, характеризующей состояние материала при заданных воздействиях, и предельно допустимого для материала значения.
Нагрузка материала оценивается путем сопоставления значения некоторой физической величины, характеризующей состояние материала при заданных воздействиях, и предельно допустимого для материала значения. В зависимости от характеристик материала используется оценка состояния по энергии деформации, энергии формоизменения, максимальным нормальным или касательным напряжениям.
В общем случае при заданных внешних воздействиях нагрузка по объему материала распределена неравномерно. При этом преобразование формы выполняется с целью выравнивания ее распределения по объему материала.
Рис. 2. Формирование геометрического представления конструкции в области проектирования на основе удаления материала
При представлении формы конструкции в виде взаимосвязанных «пустых» и «заполненных материалом» элементов объема, ее топологическая оптимизация может быть проведена на основе различных алгоритмов. Может иметь место многократное целенаправленное «введение материала» в «пустые» элементы объема, «удаление материала» из «заполненных» или «перераспределение» материала по элементам объема. В первом случае преобразование приводит к увеличению массы конструкции, во втором – к ее уменьшению. При перераспределении материала масса конструкции не изменяется.
Пусть выбрана прямоугольная область проектирования со сторонами l1 ,l2
G=(0≤x≤l1, 0≤y≤l2), (1)
и прямоугольными элементами объема, размеры которых 
определяются сеткой wh и толщиной пластины hZ. В этом случае
(2)
В области проектирования имеем 
, 
элементов объема. Если 
– признаки наличия материала и 
, можно выделить подмножества R «пустых» и M «заполненных материалом» элементов объема:
; (3)
; (4)
. (5)
Изменение формы конструкции на k-м шаге преобразования при «введении материала» соответствует перераспределению:
; (6)
. (7)
Здесь: m(Mk), m(Rk), m(Mk–1), m(Rk–1) – количество «заполненных материалом» и «пустых» элементов объема; 
и 
– количество «пустых» элементов, «заполняемых материалом».
Аналогично, «удаление материала» соответствует соотношениям:
; (8)
. (9)
При перераспределении материала на шаге преобразования k–1 материал «вводится» в 
элементов объема и из 
элементов «удаляется».
По объемам «вводимого» 
и «удаляемого» 
материала могут быть выбраны различные алгоритмы топологической оптимизации конструкций.
Вектор переменных ИАВ
определяет «распределение» материала по элементам объема области проектирования. Тогда на k-м шаге преобразования формы конструкции возможно введение или удаление материала, что соответствует преобразованию вектора переменных ИАВ
. (10)
Здесь Qk – матрица преобразования.
Для задач исследования температурных полей, напряженно-деформированного состояния, функционал, определяющий решение, может быть записан в виде [6]:
(11)
Здесь область интегрирования Dr есть область решения в области проектирования. При формировании области интегрирования просматриваются все элементы области проектирования, но выделяются только относящиеся к области решения, что позволяет получить соотношение
. (12)
Минимизация функционала достигается при значениях Ai, 
, 
, являющихся решением линейной системы 
. Получены соотношения, позволяющие автоматически формировать матрицу жесткости конструкции по матрицам жесткости элементов, «заполненных» материалом.
На рис. 3 показано решение задачи топологической оптимизации [7]. Заданы исходная форма нагруженной конструкции и силовое воздействие. Выделен объем ненагруженного материала. Вычисление формы элемента несущей конструкции основано на целенаправленном пошаговом формировании границ области решения краевой задачи. Многократно вычисляется и исследуется напряженно-деформированное состояние и энергия деформации материала конструкции.
Рис. 3. Топологическая оптимизация конструкции при заданном нагружении и выделенном допустимом для перераспределения объеме материала: а – исходная форма конструкции, несущая распределенную нагрузку; б, в – перераспределение выделенного объема; г, д – результаты топологической оптимизации конструкции
Построение и применение логико-математических моделей на основе ИАВ и уравнений в частных производных открывает направления теоретических исследований и практической деятельности по созданию конкурентных программных средств автоматического проектирования наукоемких изделий. Предлагаемый подход к моделированию позволяет расширить классы решаемых задач оптимального проектирования конструкций по заданным статическим и динамическим воздействиям.